Introducción de coordenadas normales
Lectura interactiva con términos clave resaltados automáticamente desde el glosario.
3. Transformación de Fourier
El Hamiltoniano (1) describe \(N\) partículas cuyo movimiento está acoplado a través del término \((q_{s+1}-q_s)^2\). Mientras las variables sean \(q_s\) y \(p_s\), el sistema no se ve como una colección de osciladores independientes, sino como una red en la que el movimiento de cada partícula depende del de sus vecinas. Para resolver el problema, Kittel introduce un cambio de variables: en lugar de describir el sistema partícula por partícula, se lo describe modo por modo.
La nueva coordenada se llama \(Q_k\), y se define mediante la transformación de Fourier
Aquí \(a\) es la distancia entre partículas vecinas, de modo que \(sa\) es la posición de la partícula \(s\) a lo largo del anillo. La suma recorre todas las partículas de la cadena, y a cada una se le asigna un peso \(e^{-iksa}\) que depende de su posición. Esto significa que \(Q_k\) no describe el desplazamiento de una partícula en particular, sino una combinación de los desplazamientos de todas las partículas, pesados según su posición y según el valor de \(k\).
Físicamente, \(Q_k\) es la amplitud de la onda de vector de onda \(k\) presente en la cadena de desplazamientos \(q_s\). Es exactamente lo mismo que ocurre al descomponer una señal en sus componentes de Fourier: en vez de preguntar ¿cuánto se desplazó la partícula \(s\)?, la transformación permite preguntar ¿cuánta contribución tiene la onda de número de onda \(k\) en el patrón de desplazamientos de toda la cadena?.
Los valores que puede tomar \(k\) no son arbitrarios: están fijados por la condición periódica \(q_{s+N}=q_s\) introducida en la Parte I. Esta condición exige que
Es decir, \(k\) solo puede tomar \(N\) valores discretos e igualmente espaciados. Esto tiene una consecuencia importante: hay exactamente tantos valores permitidos de \(k\) como partículas hay en la cadena. La transformación de Fourier no reduce ni aumenta el número de grados de libertad del sistema — sigue habiendo \(N\) coordenadas —, simplemente los reorganiza, pasando de las \(N\) coordenadas \(q_s\) a las \(N\) coordenadas \(Q_k\).
4. Transformación inversa
La transformación (4) es invertible: a partir de las coordenadas \(Q_k\) puede recuperarse cualquier \(q_s\). La transformación inversa es
Esta ecuación expresa el desplazamiento de la partícula \(s\) como una superposición de todos los modos \(k\) disponibles, cada uno con su correspondiente amplitud \(Q_k\) y su correspondiente fase \(e^{iksa}\) asociada a la posición de esa partícula. La relación entre (4) y (5) es la relación habitual entre una función y su transformada de Fourier: ambas describen exactamente la misma información física — el patrón de desplazamientos de la cadena —, solo que en dos representaciones distintas. Ninguna de las dos es más "verdadera" que la otra: la elección de trabajar con \(q_s\) o con \(Q_k\) no modifica la física del problema.
Sin embargo, la representación en coordenadas normales ofrece una nueva forma de interpretar esa misma física. Mientras las variables \(q_s\) describen el desplazamiento de partículas individuales de la red, las variables \(Q_k\) describen modos colectivos de vibración que involucran simultáneamente a todas las partículas. La transformación de Fourier no solo reorganiza la información matemática del sistema: también revela una estructura física que no resulta evidente en las coordenadas originales.
La Figura 2 ilustra esta diferencia de perspectiva. En la descripción original, el estado del sistema se especifica mediante los desplazamientos individuales \(q_s\) de cada partícula. Tras aplicar la transformación de Fourier, la misma información puede expresarse mediante las amplitudes \(Q_k\) de los distintos modos normales. Ambas representaciones son completamente equivalentes, pero la descripción en términos de modos pone de manifiesto que las vibraciones de la red pueden entenderse como una superposición de ondas colectivas independientes.
Esta reinterpretación será fundamental en las secciones siguientes. Al expresar el Hamiltoniano en términos de los modos normales, cada valor de \(k\) podrá asociarse a una frecuencia propia \(ω_k\), permitiendo describir el sistema como un conjunto de osciladores armónicos independientes. La simulación interactiva presentada al final de esta página permitirá visualizar precisamente esta relación entre los modos normales, sus frecuencias características y el movimiento colectivo de la cadena.
5. Coordenadas y momentos normales
El mismo cambio de representación debe aplicarse también al momento. Se necesita encontrar la cantidad \(P_k\) que sea canónicamente conjugada a \(Q_k\), es decir, que junto con \(Q_k\) satisfaga las mismas relaciones que cualquier par posición--momento en mecánica cuántica. La transformación correspondiente es
A primera vista podría pensarse que basta con repetir la sustitución \(q\to p\) y \(Q\to P\) directamente en (4) y (5). Sin embargo, eso no es exactamente lo que se hizo: al comparar (7) con (4)-(5) se observa que el signo del exponente está intercambiado entre una transformación y la otra. Donde \(q_s\) se escribe con \(e^{+iksa}\), \(p_s\) se escribe con \(e^{-iksa}\), y viceversa. En otras palabras, \(k\) y \(-k\) se han intercambiado entre la transformación de \(q\) y la de \(p\).
Este intercambio no es un capricho ni una simplificación cosmética: es precisamente lo que se necesita para que \(Q_k\) y \(P_k\) resulten ser variables canónicamente conjugadas entre sí, con la misma estructura que \(q_s\) y \(p_s\) lo eran originalmente. Si se hubiera hecho la sustitución "ingenua", manteniendo el mismo signo de exponente en ambas transformaciones, las nuevas variables no satisfarían la relación de conmutación esperada. La verificación explícita de que esta elección de signos es la correcta — es decir, que \(Q_k\) y \(P_k\) efectivamente se comportan como un par canónico — es precisamente lo que se aborda a continuación, en la Parte III.
Hasta ahora hemos visto que el desplazamiento de cada átomo de la red puede describirse mediante una combinación de ondas con diferentes vectores de onda \(k\). Esta idea conduce a la introducción de las coordenadas normales \(Q_k\), que permiten describir la vibración colectiva del cristal como una superposición de modos independientes.
En la siguiente simulación podrás observar cómo distintos modos de vibración contribuyen al movimiento total de la cadena. Modificando los modos excitados y sus amplitudes, verás cómo una vibración aparentemente compleja puede entenderse como la suma de componentes más simples. Esta visualización ayuda a interpretar físicamente la transformación de Fourier introducida en esta sección.