Parte 6

Cuantización

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17. Niveles de energía

La Parte V mostró que cada coordenada normal $$Q_k$$ obedece la ecuación de movimiento de un oscilador armónico independiente, con frecuencia propia $\omega_k$ . Este es precisamente el resultado que permite completar la cuantización del problema sin ningún paso adicional: dado que cada modo $$k$$ es, en todo sentido dinámico, un oscilador armónico aislado, sus niveles de energía son exactamente los del oscilador armónico cuántico presentado al comienzo de este desarrollo, ecuación (3) de la Parte I.

Para el modo $$k$$ , los niveles de energía permitidos son

\[\varepsilon_k = \left(n_k + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega_k \tag{20}\]

donde el número cuántico $$n_k$$ puede tomar los valores $n_k = 0,1,2,\dots$ . Es importante notar que cada modo $$k$$ tiene su propio número cuántico $$n_k$$ , independiente del de cualquier otro modo: como los modos están completamente desacoplados —resultado obtenido en la Parte IV y confirmado dinámicamente en la Parte V—, el estado de excitación de un modo no impone ninguna restricción sobre el estado de excitación de los demás.

La energía no varía de manera continua, sino en saltos discretos de tamaño $\hbar\omega_k$ : este es, en sentido estricto, el fenómeno de cuantización al que se refiere el título del apéndice. La onda elástica clásica, que en principio podría tener cualquier amplitud y por tanto cualquier energía, queda restringida —al tratar $$Q_k$$ y $$P_k$$ como operadores que satisfacen la relación de conmutación (10)— a un conjunto discreto de niveles de energía igualmente espaciados.

18. Energía de punto cero

Un rasgo distintivo de (20), que no tiene análogo en la descripción clásica del sistema, es que incluso en el estado de menor energía posible —aquel en que $$n_k=0$$ — el modo $$k$$ no tiene energía nula. Su energía mínima es

\[\frac{1}{2}\hbar\omega_k\]

Esta cantidad se denomina energía de punto cero del modo $$k$$ . Clásicamente, un oscilador en reposo absoluto, sin desplazamiento ni velocidad, tiene energía exactamente igual a cero. Cuánticamente esto no es posible: el principio de incertidumbre, codificado aquí en la relación de conmutación $[Q_k,P_{-k}]\neq 0$ , impide que un oscilador tenga simultáneamente una posición y un momento perfectamente definidos e iguales a cero. La consecuencia es que ni siquiera en su estado fundamental el modo deja de oscilar por completo: persiste una energía residual, irreducible, asociada exclusivamente a la naturaleza cuántica del sistema.

Dentro del formalismo desarrollado en este apéndice, la energía de punto cero no es un añadido artificial ni una corrección posterior: aparece de manera natural en (20) simplemente por exigir que cada modo normal de la cadena se cuantice como cualquier otro oscilador armónico cuántico. Cada uno de los $$N$$ modos de la cadena contribuye con su propia energía de punto cero, $\tfrac{1}{2}\hbar\omega_k$ , incluso en el caso hipotético en que el sistema completo se encontrara en su estado de mínima energía posible.