Parte 7

Operadores de creación y destrucción

Lectura interactiva con términos clave resaltados automáticamente desde el glosario.

19. Introducción de operadores

El resultado (20) de la Parte VI muestra que cada modo $$k$$ de la cadena se cuantiza exactamente como un oscilador armónico. Existe, sin embargo, una manera alternativa y muy conveniente de expresar esta misma física, que resulta especialmente útil para el trabajo posterior con sistemas cuánticos: en lugar de describir cada oscilador en términos de su coordenada $$Q_k$$ y su momento $$P_k$$ , puede describirse en términos de dos operadores que actúan directamente sobre los niveles de energía del oscilador.

Estos son el operador de creación $a_k^\dagger$ y el operador de destrucción $$a_k$$ , también llamados operadores bosónicos. Su definición no parte de $$Q_k$$ y $$P_k$$ de manera directa, sino de su acción sobre los estados propios del oscilador armónico, etiquetados por el número cuántico $$n$$ . El operador de creación $a^\dagger$ se define por la propiedad

\[a^\dagger|n\rangle = (n+1)^{1/2}\,|n+1\rangle \tag{23}\]

es decir, al actuar sobre un estado de número cuántico $$n$$ , lo transforma en el estado de número cuántico $$n+1$$ , multiplicado por un factor $(n+1)^{1/2}$ . El nombre de "operador de creación" alude precisamente a esto: aplicado al estado del oscilador, produce un estado con un cuanto de excitación adicional. En el contexto de este apéndice, donde cada cuanto de energía $\hbar\omega_k$ del modo $$k$$ se identifica con un fonón, decir que $a_k^\dagger$ "crea un fonón" significa exactamente que aumenta en uno el número de ocupación de ese modo.

El operador de destrucción $$a$$ tiene la propiedad complementaria:

\[a|n\rangle = n^{1/2}\,|n-1\rangle \tag{24}\]

Actúa sobre un estado de número cuántico $$n$$ y lo convierte en el estado $$n-1$$ , multiplicado por $n^{1/2}$ . Aplicado al modo $$k$$ , $$a_k$$ "destruye un fonón": reduce en uno el número de cuantos de excitación presentes en ese modo. Nótese que si $$n=0$$ —el estado de menor energía posible, el que contiene la energía de punto cero estudiada en la Parte VI— el factor $n^{1/2}$ se anula: no es posible destruir un fonón en un modo que ya no contiene ninguno.

20. Hamiltoniano cuantizado

A partir de las definiciones (23) y (24) puede construirse el producto $a^\dagger a$ actuando sobre un estado $|n\rangle$ :

\[a^\dagger a\,|n\rangle = a^\dagger\,n^{1/2}|n-1\rangle = n\,|n\rangle \tag{25}\]

Este resultado muestra que $|n\rangle$ es un estado propio del operador $a^\dagger a$ , con valor propio igual al número entero $$n$$ : aplicar primero $$a$$ y después $a^\dagger$ devuelve el mismo estado original, multiplicado exactamente por su número de ocupación. Esta propiedad es la que permite reescribir el Hamiltoniano (16) de la Parte IV en una forma equivalente, expresada en términos de los operadores $a_k^\dagger$ y $$a_k$$ en lugar de $$Q_k$$ y $$P_k$$ :

\[H = \sum_k \hbar\omega_k\left(a_k^\dagger a_k + \frac{1}{2}\right) \tag{22}\]

Esta expresión es enteramente consistente con todo lo desarrollado hasta este punto: si se hace actuar $$H$$ sobre un estado en el que el modo $$k$$ tiene número de ocupación $$n_k$$ , el operador $a_k^\dagger a_k$ devuelve, según (25), precisamente $$n_k$$ , y se recupera exactamente el espectro de energías $\varepsilon_k=(n_k+\tfrac12)\hbar\omega_k$ obtenido en (20). El paso de (16) a (22) no introduce ninguna física nueva: es un cambio de variables, análogo en espíritu a la transformación de Fourier de la Parte II, pero ahora realizado dentro del propio espacio de operadores cuánticos, que permite leer directamente del Hamiltoniano la energía de cada modo sin tener que resolver ninguna ecuación de movimiento adicional.

21. Número de ocupación

El valor propio $$n_k$$ que aparece en (25), aplicado al modo $$k$$ , recibe un nombre físico preciso: es el número de ocupación de ese modo, y se interpreta como el número de fonones presentes en él. Esta interpretación no es una analogía superficial con otras partículas cuánticas: cada fonón es, literalmente, un cuanto de energía $\hbar\omega_k$ del modo normal $$k$$ de la cadena, y el estado cuántico del modo queda completamente especificado por cuántos de esos cuantos contiene.

El comportamiento conjunto de $$a_k$$ y $a_k^\dagger$ refleja esta interpretación de manera consistente. Por ejemplo, al evaluar el producto en el orden opuesto,

\[aa^\dagger|n\rangle = a\,(n+1)^{1/2}|n+1\rangle = (n+1)\,|n\rangle \tag{26}\]

se obtiene un resultado distinto al de (25): mientras $a^\dagger a$ da como valor propio $$n$$ , el orden $aa^\dagger$ da $$n+1$$ . Esta diferencia entre los dos órdenes de aplicación —destruir y luego crear, frente a crear y luego destruir— es precisamente lo que distingue a estos operadores de simples números: $$a$$ y $a^\dagger$ no conmutan entre sí. Restando (25) de (26) se obtiene la relación de conmutación bosónica

\[[a,a^\dagger] \equiv aa^\dagger - a^\dagger a = 1 \tag{27}\]

Esta relación es, para los operadores $$a_k$$ y $a_k^\dagger$ , el análogo exacto de lo que la relación canónica (9) era para $$q_s$$ y $$p_s$$ , y de lo que (10) era para $$Q_k$$ y $$P_k$$ : es la condición algebraica que codifica, en este nuevo lenguaje de creación y destrucción, la naturaleza cuántica del oscilador asociado a cada modo de la cadena.