Hamiltoniano en coordenadas normales
Lectura interactiva con términos clave resaltados automáticamente desde el glosario.
9. Transformación de la energía cinética
Con las relaciones canónicas ya verificadas en la Parte III, el siguiente paso es reescribir el Hamiltoniano completo (1) en términos de las nuevas coordenadas \(Q_k\) y \(P_k\). Se empieza por el término de energía cinética. Sustituyendo la transformación (7) en \(\sum_s p_s^2\) y usando la identidad de ortogonalidad (11):
El paso decisivo ocurre en la segunda línea: la suma sobre \(s\) produce, gracias a (11), una delta de Kronecker que solo permite sobrevivir a los términos con \(k'=-k\). De la triple suma original sobre \(s\), \(k\) y \(k'\) queda únicamente una suma sobre \(k\), con el producto \(P_kP_{-k}\). Es la condición periódica de la red, codificada en la identidad de ortogonalidad, la que reduce drásticamente la complejidad de la expresión.
Conviene notar que el resultado no es \(\sum_k P_k^2\), como podría esperarse por analogía directa con \(\sum_s p_s^2\), sino \(\sum_k P_kP_{-k}\). Esto es consecuencia de que \(Q_k\) y \(P_k\) son, en general, cantidades complejas: el desplazamiento real de la cadena se reconstruye combinando los modos \(k\) y \(-k\), y es ese emparejamiento el que aparece de forma natural en la energía cinética expresada en coordenadas normales.
10. Transformación de la energía potencial
El mismo procedimiento se aplica al término de energía potencial. Sustituyendo la transformación (4) en \(\sum_s (q_{s+1}-q_s)^2\) y usando nuevamente (11):
Aquí el factor \(\big[e^{ika}-1\big]\) surge directamente de tomar la diferencia \(q_{s+1}-q_s\) en términos de la transformación de Fourier: desplazar el índice de partícula de \(s\) a \(s+1\) equivale, en el espacio de los modos, a multiplicar por una fase \(e^{ika}\). La diferencia de desplazamientos entre vecinos — que es lo único que cuesta energía elástica en este modelo, como se señaló en la Parte I — se convierte así en un factor que depende exclusivamente de \(k\) y de la separación \(a\) entre partículas.
El resultado final, \(2\sum_k Q_kQ_{-k}(1-\cos ka)\), vuelve a mostrar el mismo patrón que en (12): la suma triple colapsa a una suma simple sobre \(k\), y aparece el producto cruzado \(Q_kQ_{-k}\) en lugar de \(Q_k^2\). El factor \((1-\cos ka)\) es la huella, en el espacio de los modos, de la naturaleza discreta y periódica de la cadena: para \(k=0\) este factor se anula exactamente, lo que significa que el modo de longitud de onda infinita — el que desplaza a todas las partículas por igual — no almacena energía potencial elástica, justamente porque un desplazamiento uniforme no estira ningún resorte.
11. Hamiltoniano intermedio
Sustituyendo (12) y (13) en el Hamiltoniano original (1), este queda escrito enteramente en términos de \(Q_k\) y \(P_k\):
Esta expresión ya es una suma sobre los modos \(k\), no sobre las partículas \(s\): la transformación de Fourier ha cumplido su propósito de reorganizar las coordenadas. Sin embargo, todavía no es evidente que (14) describa \(N\) osciladores armónicos independientes, porque su forma no coincide exactamente con la del Hamiltoniano de un oscilador armónico, ecuación (2) de la Parte I. Falta identificar qué papel juega el factor \((1-\cos ka)\) en relación con la frecuencia de oscilación de cada modo.
12. Frecuencias normales
Para darle a (14) la forma reconocible de un oscilador armónico, se introduce el símbolo \(\omega_k\), definido como
Esta definición no es arbitraria: está construida precisamente para que el coeficiente de \(Q_kQ_{-k}\) en (14) pueda reescribirse como \(\tfrac{1}{2}M\omega_k^2\), que es la forma exacta en que aparece la constante elástica en el Hamiltoniano de un oscilador armónico simple. La cantidad \(\omega_k\) recibe el nombre de frecuencia normal del modo \(k\): es la frecuencia angular con la que oscila ese modo particular de la cadena, y depende de \(k\) de una manera que no es lineal, debido al factor \((1-\cos ka)^{1/2}\).
Esta dependencia entre \(\omega_k\) y \(k\) es lo que en otros contextos se conoce como relación de dispersión: distintos modos de la cadena, identificados por valores distintos de \(k\), oscilan en general con frecuencias distintas. El modo \(k=0\), en particular, tiene frecuencia nula, en concordancia con lo observado en la sección anterior: ese modo no almacena energía potencial elástica y, por tanto, no oscila con una frecuencia restitutiva propia.
13. Hamiltoniano desacoplado
Sustituyendo la definición (15) en (14), el Hamiltoniano de la cadena adopta su forma final en coordenadas normales:
Este es el resultado central de esta parte del desarrollo. Comparando (16) con el Hamiltoniano de un oscilador armónico simple, ecuación (2), se observa que cada término de la suma sobre \(k\) tiene exactamente esa forma: una energía cinética cuadrática en el momento y una energía potencial cuadrática en la coordenada, con \(\omega_k\) jugando el papel de la frecuencia propia de ese modo.
El logro de toda la transformación llevada a cabo en las Partes II, III y IV puede resumirse así: el Hamiltoniano original (1), que describía \(N\) partículas acopladas entre sí por el término \((q_{s+1}-q_s)^2\), se ha convertido en (16), una simple suma de \(N\) Hamiltonianos de osciladores armónicos, uno por cada valor permitido de \(k\), sin ningún término que mezcle un modo con otro. El problema de \(N\) cuerpos acoplados se ha reducido exactamente a \(N\) problemas independientes de un solo oscilador, cada uno de los cuales ya se sabe resolver y cuantizar mediante el resultado (3) presentado al comienzo de este desarrollo.
Preambulo para el video
Hasta este punto hemos visto cómo la transformación a coordenadas de Fourier permite desacoplar el movimiento colectivo de la cadena en una suma de modos normales independientes. La siguiente animación recorre visualmente todo ese camino: parte de una onda elástica propagándose en una cadena de masas y resortes, pasa por la identificación de los modos normales y su relación de dispersión, muestra la transformación de Fourier que desacopla el Hamiltoniano, y culmina en la equivalencia entre cada modo y un oscilador armónico independiente —el resultado central de esta página, expresado en la Ec. (16)—. A partir de esa equivalencia, el video introduce la cuantización de la energía vibracional y el concepto de fonón.
La cadena de partículas que aparece en esta animación es la misma que retomarás justo después en la simulación interactiva de esta sección. Aquí la verás todavía como un sistema acoplado, vibrando como una onda colectiva; en la simulación podrás aislar y manipular uno por uno los modos normales que la componen, examinando en particular las frecuencias \(\omega_k\) introducidas en la Ec. (15) y el Hamiltoniano desacoplado de la Ec. (16). Juntos, el video y la simulación cubren el núcleo de la presente sección: cómo una cadena de partículas acopladas se convierte, modo por modo, en un conjunto de osciladores armónicos independientes.
Cuantización de ondas elásticas: fonones en una cadena 1D
Preámbulo para simulación
Tras expresar el Hamiltoniano en coordenadas normales, cada modo \(k\) se comporta como un oscilador independiente caracterizado por una frecuencia propia \(\omega_k\) (Ec. 15). El problema colectivo de una cadena con muchas partículas acopladas —la misma cadena que acabas de ver propagándose como onda en el video anterior— se transforma así en un conjunto de osciladores desacoplados, resultado expresado en el Hamiltoniano de la Ec. (16).
En esta simulación podrás retomar esa cadena y explorar, de forma individual, la relación entre los modos de vibración y sus frecuencias normales. Observa cómo cada modo activado ocupa una posición específica sobre la curva de dispersión \(\omega_k\), y cómo la combinación de varios modos reconstruye el mismo movimiento colectivo que el video mostró como una onda única. Esta visualización completa, desde el lado interactivo, lo que el video presentó de forma narrada: la equivalencia entre la cadena acoplada y la suma de osciladores armónicos independientes que define el Hamiltoniano desacoplado de esta página.