Parte 5

Ecuaciones de movimiento

Lectura interactiva con términos clave resaltados automáticamente desde el glosario.

14. Primera ecuación de movimiento

Una vez que el Hamiltoniano se ha escrito en la forma desacoplada (16), conviene comprobar explícitamente que cada coordenada normal $$Q_k$$ se comporta efectivamente como la coordenada de un oscilador armónico. La manera natural de hacerlo, dentro del formalismo cuántico, es obtener su ecuación de movimiento mediante la prescripción estándar de la mecánica cuántica: la evolución temporal de un operador está dada por su conmutador con el Hamiltoniano. Para $$Q_k$$ , esto se escribe

\[i\hbar\dot{Q}_k = [Q_k,H] = i\hbar\,P_{-k}/M \tag{17}\]

donde $$H$$ es el Hamiltoniano (14). Este resultado es consistente con lo que se esperaría de un oscilador armónico ordinario: en mecánica clásica, la velocidad asociada a una coordenada es, salvo factores, el momento conjugado dividido por la masa. Aquí ocurre lo mismo, pero con una diferencia que vale la pena señalar: $\dot Q_k$ no queda expresado en términos de $$P_k$$ , sino de $P_{-k}$ . Esto es coherente con la estructura ya observada en el Hamiltoniano (14) y (16), donde los modos $$k$$ y $$-k$$ aparecen siempre emparejados: ningún modo evoluciona de manera completamente aislada de su pareja $$-k$$ , aunque sí de manera independiente de todos los demás modos.

15. Segunda derivada temporal

Para obtener una ecuación de movimiento de segundo orden — análoga a la ecuación de Newton para un oscilador clásico — se deriva nuevamente respecto del tiempo, aplicando la misma prescripción a $\dot Q_k$ :

\[i\hbar\ddot{Q}_k = [\dot{Q}_k,H] = M^{-1}[P_{-k},H] = i\hbar\,\omega_k^2 Q_k \tag{18}\]

Aquí se ha usado el resultado (17) para sustituir $\dot Q_k$ por $P_{-k}/M$ , y luego se ha evaluado el conmutador de $P_{-k}$ con el Hamiltoniano (14). El resultado es notable por su simplicidad: toda la estructura de $$H$$ como suma sobre modos colapsa, para el modo particular $$k$$ , en un único término proporcional a $\omega_k^2 Q_k$ . Esto es exactamente lo que se espera de un sistema desacoplado: la evolución de $$Q_k$$ depende únicamente de su propia frecuencia $\omega_k$ y de su propio valor, sin que ningún otro modo $k'\neq k$ intervenga en el resultado.

16. Ecuación del oscilador armónico

Cancelando el factor común $i\hbar$ en (18), se obtiene

\[\ddot{Q}_k + \omega_k^2 Q_k = 0 \tag{19}\]

Esta es, literalmente, la ecuación de movimiento de un oscilador armónico de frecuencia $\omega_k$ . Es la misma ecuación diferencial que describe un péndulo de pequeñas oscilaciones, una masa sujeta a un resorte, o cualquier otro sistema físico que oscile armónicamente, con la única particularidad de que aquí $\omega_k$ es la frecuencia normal definida en la Parte IV, ecuación (15), propia del modo $$k$$ de la cadena.

El resultado (19) cierra el argumento iniciado en la Parte IV: no solo el Hamiltoniano tiene la forma de una suma de osciladores armónicos independientes, como mostraba (16), sino que la dinámica misma de cada coordenada normal — su ecuación de movimiento — es exactamente la de un oscilador armónico aislado. Cada modo $$k$$ de la cadena periódica se comporta, en todo sentido, como si fuera un sistema físico independiente que vibra con su propia frecuencia $\omega_k$ , sin ninguna conexión dinámica con los demás modos. Esta independencia es la que permite, en la parte siguiente, cuantizar cada modo por separado utilizando directamente el resultado ya conocido para el oscilador armónico cuántico.