Energía total de la red
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22. Resultado final
Todo el desarrollo anterior —la transformación de coordenadas de la Parte II, la verificación de las relaciones de conmutación en la Parte III, el desacoplamiento del Hamiltoniano en la Parte IV, la confirmación dinámica mediante las ecuaciones de movimiento en la Parte V, la cuantización de cada modo en la Parte VI, y su reformulación mediante operadores de creación y destrucción en la Parte VII— converge en un único resultado: la energía total de la cadena.
Puesto que el Hamiltoniano (16) es una suma de \(N\) osciladores armónicos independientes, uno por cada modo \(k\), y puesto que cada uno de ellos tiene el espectro de energía (20) obtenido para el oscilador armónico cuántico, la energía total del sistema completo es simplemente la suma de las energías de todos los modos:
Esta suma recorre los \(N\) valores permitidos de \(k\), fijados por la condición periódica (6) introducida en la Parte II. Cada modo contribuye a \(U\) con dos partes: un término \(n_k\hbar\omega_k\), que depende del número de ocupación de ese modo y que puede tomar cualquier valor entero de veces el cuanto \(\hbar\omega_k\), y un término fijo \(\tfrac12\hbar\omega_k\), la energía de punto cero estudiada en la Parte VI, que está presente incluso si \(n_k=0\).
La ecuación (21) es el resultado final del Apéndice C, y responde por completo a la pregunta planteada al inicio de este desarrollo: ¿cómo se cuantiza una onda elástica? La respuesta es que la energía de las vibraciones de la cadena no varía de manera continua, sino que se reparte en cuantos discretos de energía \(\hbar\omega_k\), distribuidos entre los \(N\) modos normales permitidos por la periodicidad de la red.
23. Interpretación física final
El resultado (21) admite una lectura física directa, que es la que da sentido al nombre de "fonón". Cada modo normal \(k\) de la cadena, una vez cuantizado, se comporta como un conjunto de cuantos idénticos e indistinguibles de energía \(\hbar\omega_k\) cada uno; a estos cuantos se les llama fonones. Decir que el modo \(k\) tiene número de ocupación \(n_k\) es decir que hay \(n_k\) fonones de ese modo presentes en la cadena.
La energía total de la red, entonces, no es otra cosa que la suma de las contribuciones de todos los modos normales cuantizados: cada modo aporta su propio término \((n_k+\tfrac12)\hbar\omega_k\), de manera completamente independiente de lo que ocurra en los demás modos, como corresponde al desacoplamiento establecido en la Parte IV. La cadena de \(N\) partículas acopladas, que en su descripción original mediante \(q_s\) y \(p_s\) parecía un problema de \(N\) cuerpos interactuando entre sí, se revela —una vez expresada en la representación correcta— como un conjunto de \(N\) osciladores independientes, cuya energía colectiva es simplemente la suma de cuantos individuales distribuidos entre ellos. Este es, en su forma más simple, el fenómeno de cuantización de las ondas elásticas en un sólido.
Una vez cuantizados los modos normales, cada uno de ellos puede interpretarse como un oscilador armónico cuántico con niveles de energía discretos. Las excitaciones asociadas a estos modos reciben el nombre de fonones y constituyen los cuantos de vibración de la red cristalina.
La siguiente simulación muestra cómo las contribuciones energéticas de todos los modos se combinan para determinar la energía total del sistema. También permite explorar cómo la ocupación de los estados fonónicos varía con la temperatura y cómo emergen magnitudes macroscópicas como el calor específico. De esta manera, se conecta la descripción microscópica de los fonones con propiedades observables de los sólidos.